Storiella del Catalogo Dei Cataloghi

Restiamo ancora sugli insiemi con un po' di teoria:



1. Quando definiamo un dato insieme (es. tutti i numeri da 1 a 10) si crea anche l'insieme di tutti gli elementi che non appartengono a quell'insieme (es. 11, 27, ecc.) che chiameremo insieme residuo.

2. Per ogni elemento si deve poter dire se appartiene o meno ad un dato insieme. In altre parole, 

non può appartenere contemporaneamente ad un dato insieme e al suo insieme residuo.

3. Ci sono A) insiemi che contengono se stessi e  B) insiemi che non contengono se stessi.

Facciamo un esempio

G è l'insieme di tutti i gatti

abbiamo appena definito l'insieme G questo vuol dire anche che:

per la regola  1  esisterà anche un insieme che racchiude tutti gli elementi che non sono gatti

per la regola   2  ogni elemento o è un gatto e appartiene a G o non lo è e appartiene all'insieme residuo

per la regola   3   G appartiene alla categoria di insiemi che non contengono se stessi cioè che non hanno se stessi come proprio elemento. 

Infatti l'insieme G che contiene tutti i gatti non è un gatto.

Ci sono anche insiemi che contengono se stessi ad esempio l'insieme degli insiemi 

che è a sua volta un insieme e quindi tra tutti gli insiemi che raccoglie ha anche se stesso.


Ma è arrivato il momento della storiella che renderà tutto più interessante.



STORIELLA DEL CATALOGO DEI CATALOGHI

C'era una volta una biblioteca con centinaia di migliaia di libri di tutti i tipi. Era una biblioteca antichissima che racchiudeva il sapere di secoli e secoli del genere umano.
Come ogni biblioteca che si rispetti aveva dei cataloghi con le schede e la collocazione di ciascun libro.
Vi erano cataloghi che elencavano i libri per tipo, altri per la lingua, quelli che usavano l'ordine alfabetico e quelli che preferivano la ricerca per autore. E poi ce ne erano di speciali quelli che contenevano tutti i libri di arte o di storia o di scienze e via discorrendo. Insomma alla fine si arrivava a più di cento cataloghi.
Un giorno il povero bibliotecario, un uomo molto anziano che lavorava in quella biblioteca da tanti anni da considerarla ormai una seconda casa, fu incaricato dal Comune di redigere un catalogo che raccogliesse tutti i centinaia di cataloghi che erano stati compilati con pazienza negli anni che seguirono la fonadazione di quella biblioteca.
L'anziano bibliotecario si sentì fiero di quell'importante incarico affidatogli e si buttò anima e corpo nella compilazione del Catalogo dei cataloghi.

Al momento di completare soddisfatto la sua opera fu però colto da un dubbio:

avrebbe dovuto inserire il Catalogo dei cataloghi nella lista dei cataloghi contenuti nel Catalogo dei cataloghi?

Si rispose che in fondo era esso stesso un catalogo e quindi era giusto inserire la sua scheda tra le altre. E così fece.

Più tardi ripensando a quella cosa curiosa e per passare il tempo fece mentalmente una lista di altri cataloghi che potevano contare la propria scheda tra le pagine,  ad esempio c'era una catalogo che conteneva tutti i libri con meno di 500 pagine. E quel catalogo di pagine ne aveva 326 e quindi apparteneva anche lui alla lista dei libri con meno di 500 pagine inserita al proprio interno.

L'uomo si chiese se se valeva la pena, così per passare il tempo, di compilare un Catalogo dei cataloghi che contenevano se  stessi al proprio interno. E decise che si poteva fare.

Trovato qualche analogia con la teoria degli insiemi?

Ti è più chiaro che significa che ci sono insiemi (come ad esempio l'insieme di tutti gli insiemi) che contengono se stessi come elemento al proprio interno?

Bene, andiamo a vedere come continua la storia del catalogo dei cataloghi


Il bibliotecario felice di quell'ennesima impresa ci aveva proprio preso gusto e pensò:

 se ho fatto un catalogo di tutti i cataloghi che contengono se stessi allora è giusto che ne faccia un altro con tutti i cataloghi che invece non contengono se stessi!

L'idea gli parve buona, anche perché non aveva molto altro da fare e non aveva una donna alla quale poter pensare.

E si mise al lavoro, compila di quà compila di là terminò dopo diversi giorni anche questo Catalogo dei cataloghi che non contenevano se stessi.

Al momento di chiudere però il diavoletto che sempre gli gli metteva i dubbi gli presentò un nuovo dilemma:

Devo inserire questo Catalogo dei cataloghi che non contengono se stessi all'interno del Catalogo dei cataloghi che non contengono se stessi?

Tu che dici? Che faresti al posto suo? Pensaci un po' su e poi vedi come finisce la storia del catalogo dei cataloghi.