Fine Della Storia Del Catalogo Dei Cataloghi

Ed eccoci arrivati alla soluzione della storia del catalogo dei cataloghi.

Abbiamo lasciato il nostro bibliotecario alle prese con questo dilemma:

Inserire o non inserire Il catalogo di tutti i cataloghi che non contengono se stessi al proprio interno?

Nella teoria degli insiemi se "il catalogo dei cataloghi che contengono se stessi" corrisponde a "l'insieme di tutti gli insiemi che contengono se stessi" allora "il catalogo di tutti i cataloghi che non contengono se stessi" deve corrispondere a "l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi". 

Il bibliotecario ragiona così:

1) Il mio nuovo catalogo contiene tutti i cataloghi che non contengono loro stessi, e lui stesso non contiene se stesso, proprio  come gli elementi che ospita, quindi chi ha più diritto di lui, il catalogo dei cataloghi che non contengono se stessi ad essere incluso nel catalogo dei cataloghi che non contengono se stessi?

Il ragionamento non fa una grinza.

Va per includerlo e di nuovo il diavoletto ci mette lo zampino.

2) Ma se lo includo allora "il catalogo di tutti i cataloghi che non contengono se stessi" conterrebbe se stesso fra i propri elementi e perderebbe tutti i diritti di stare nel "catalogo dei cataloghi che non contengono se stessi"! 

Certo se il nostro bibliotecario avesse letto certe storielle di Russell avrebbe capito di trovarsi davanti a quel rompicapo senza soluzioni che si chiama antinomia.

Ma questo non poteva succedere. Perché vedi il bibliotecario non era una persona reale ma una creatura di pura fantasia nata proprio dalla penna del filosofo matematico Bertrand Russell.

E fu così che l'insieme degli insiemi che non contengono se stessi e l'antinomia della sua contemporanea inclusione/esclusione da se stesso aveva aperto una falla cosi' grande nella vecchia teoria degli insiemi che fu necessaria una sua rielaborazione in quella che oggi chiamiamo teoria assiomatica degli insiemi. 

Ma la vecchia teoria detta anche "teoria ingenua degli insiemi" o "teoria intuitiva degli insiemi" non sparisce del tutto dall'universo della matematica. 

Quello che aveva di buono era la sua immediatezza, la sua comprensibilità. E questa sua caratteristica ne permise la sopravvivenza. 

La nuova e difficile teoria assiomatica degli insiemi sarebbe stata il campo di studi eletto degli "esperti", mentre la vecchia teoria intuitiva avrebbe trovato nelle scuole la sua ragione d'essere, avrebbe offerto con la sua semplicità le basi e gli strumenti per far pratica con la matematica agli studenti di tutto il mondo.

Storiella del Catalogo Dei Cataloghi

Restiamo ancora sugli insiemi con un po' di teoria:



1. Quando definiamo un dato insieme (es. tutti i numeri da 1 a 10) si crea anche l'insieme di tutti gli elementi che non appartengono a quell'insieme (es. 11, 27, ecc.) che chiameremo insieme residuo.

2. Per ogni elemento si deve poter dire se appartiene o meno ad un dato insieme. In altre parole, 

non può appartenere contemporaneamente ad un dato insieme e al suo insieme residuo.

3. Ci sono A) insiemi che contengono se stessi e  B) insiemi che non contengono se stessi.

Facciamo un esempio

G è l'insieme di tutti i gatti

abbiamo appena definito l'insieme G questo vuol dire anche che:

per la regola  1  esisterà anche un insieme che racchiude tutti gli elementi che non sono gatti

per la regola   2  ogni elemento o è un gatto e appartiene a G o non lo è e appartiene all'insieme residuo

per la regola   3   G appartiene alla categoria di insiemi che non contengono se stessi cioè che non hanno se stessi come proprio elemento. 

Infatti l'insieme G che contiene tutti i gatti non è un gatto.

Ci sono anche insiemi che contengono se stessi ad esempio l'insieme degli insiemi 

che è a sua volta un insieme e quindi tra tutti gli insiemi che raccoglie ha anche se stesso.


Ma è arrivato il momento della storiella che renderà tutto più interessante.



STORIELLA DEL CATALOGO DEI CATALOGHI

C'era una volta una biblioteca con centinaia di migliaia di libri di tutti i tipi. Era una biblioteca antichissima che racchiudeva il sapere di secoli e secoli del genere umano.
Come ogni biblioteca che si rispetti aveva dei cataloghi con le schede e la collocazione di ciascun libro.
Vi erano cataloghi che elencavano i libri per tipo, altri per la lingua, quelli che usavano l'ordine alfabetico e quelli che preferivano la ricerca per autore. E poi ce ne erano di speciali quelli che contenevano tutti i libri di arte o di storia o di scienze e via discorrendo. Insomma alla fine si arrivava a più di cento cataloghi.
Un giorno il povero bibliotecario, un uomo molto anziano che lavorava in quella biblioteca da tanti anni da considerarla ormai una seconda casa, fu incaricato dal Comune di redigere un catalogo che raccogliesse tutti i centinaia di cataloghi che erano stati compilati con pazienza negli anni che seguirono la fonadazione di quella biblioteca.
L'anziano bibliotecario si sentì fiero di quell'importante incarico affidatogli e si buttò anima e corpo nella compilazione del Catalogo dei cataloghi.

Al momento di completare soddisfatto la sua opera fu però colto da un dubbio:

avrebbe dovuto inserire il Catalogo dei cataloghi nella lista dei cataloghi contenuti nel Catalogo dei cataloghi?

Si rispose che in fondo era esso stesso un catalogo e quindi era giusto inserire la sua scheda tra le altre. E così fece.

Più tardi ripensando a quella cosa curiosa e per passare il tempo fece mentalmente una lista di altri cataloghi che potevano contare la propria scheda tra le pagine,  ad esempio c'era una catalogo che conteneva tutti i libri con meno di 500 pagine. E quel catalogo di pagine ne aveva 326 e quindi apparteneva anche lui alla lista dei libri con meno di 500 pagine inserita al proprio interno.

L'uomo si chiese se se valeva la pena, così per passare il tempo, di compilare un Catalogo dei cataloghi che contenevano se  stessi al proprio interno. E decise che si poteva fare.

Trovato qualche analogia con la teoria degli insiemi?

Ti è più chiaro che significa che ci sono insiemi (come ad esempio l'insieme di tutti gli insiemi) che contengono se stessi come elemento al proprio interno?

Bene, andiamo a vedere come continua la storia del catalogo dei cataloghi


Il bibliotecario felice di quell'ennesima impresa ci aveva proprio preso gusto e pensò:

 se ho fatto un catalogo di tutti i cataloghi che contengono se stessi allora è giusto che ne faccia un altro con tutti i cataloghi che invece non contengono se stessi!

L'idea gli parve buona, anche perché non aveva molto altro da fare e non aveva una donna alla quale poter pensare.

E si mise al lavoro, compila di quà compila di là terminò dopo diversi giorni anche questo Catalogo dei cataloghi che non contenevano se stessi.

Al momento di chiudere però il diavoletto che sempre gli gli metteva i dubbi gli presentò un nuovo dilemma:

Devo inserire questo Catalogo dei cataloghi che non contengono se stessi all'interno del Catalogo dei cataloghi che non contengono se stessi?

Tu che dici? Che faresti al posto suo? Pensaci un po' su e poi vedi come finisce la storia del catalogo dei cataloghi.

Il Paradosso Del Barbiere

Con la storiella del "paradosso del barbiere" Bertrand Russell, filosofo e matematico,  rischiò più di cento anni fa di far saltare in aria la teoria degli insiemi.

Erano gli inizi del Novecento e gli studiosi erano impegnati nel mettere al centro degli studi matematici quella che sembrava una fortezza solida e inespugnabile: la teoria degli insiemi...

Qual'è il paradosso del barbiere di Russell e che c'entra con la matematica?

Si tratta di una specie di indovinello.


Il PARADOSSO DEL BARBIERE SBARBATO

C'era un villaggio che aveva tra i suoi abitanti un solo barbiere, un uomo sempre ben sbarbato.
Sull'insegna del suo negozio era scritto a caratteri grandi e in rosso:

Se pensata in termini di insieme abbiamo da una parte l'insieme A di tutti quelli che si radono da soli, dall'altra l'insieme B di tutti quelli che NON si radono da soli.



La domanda che si pone Russell è:

in che gruppo mettiamo il barbiere?




E la risposta che sembra scontata, cioè che

1)  il barbiere si rade da solo,  mostra una contraddizione:

se il barbiere si radesse da solo non raderebbe solo e unicamente quelli che non si radono da soli.
quindi non appartiene all'insieme A di quelli che si radono da soli.

2) Allora non si rade da solo?

 Nemmeno, perché verrebbe meno la premessa che c'è un solo barbiere. Infatti se non si radesse da solo (insieme B) allora dovrebbe essere raso dal barbiere ma il barbiere è lui... e si ricadrebbe nel primo caso.

Un barbiere insomma che si rade da solo solo quando non si rade da solo.

Siccome nella definizione di insieme troviamo che:

dato un insieme è possibile indicare se un elemento appartiene o non appartiene ad un insieme

il barbiere va messo per forza in uno dei due gruppi ma abbiamo già visto che ciò è impossibile. E la sua esclusione o inclusione in entrambi gli insiemi crea una contraddizione nella definizione di insieme.

dov'è la fregatura?


Non c'è.
Si chiama antinomia ed è un particolare tipo di paradosso che indica la compresenza di due affermazioni contraddittorie, ma che possono essere entrambe dimostrate o giustificate.

Naturalmente l'indovinello qui esposto è solo un esempio figurativo per introdurre con parole semplici quello che accade quando andiamo a sfidare la prima teoria degli insiemi e si presta naturalmente ad ogni tipo di risposta umoristica, vediamone alcune tra le più belle recuperate in rete:

1)  Il barbiere ha la barba ma non si vede perché è tinta di rosa
2)  Il barbiere ha 12 anni e non ha la barba
3)  Gliela fa la moglie
4)  Non la rade ma gli dà fuoco 
5) Il barbiere sostiene di non essersi mai fatto la barba, ma si chiama Pinocchio.
6) Il barbiere è morto
7) Il barbiere non esiste è tutta un'invenzione di Megaroz

clicca pure sull'immagine sotto per ingrandire vedere la storia :)